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\title{\heiti\zihao{2} 习题1.4}
\author{中书君}
\date{\songti 2021年1月13日}

\begin{document}
\maketitle

\section{设$A$,$B$是两个有界集,证明:}%1
\subsection{$A \bigcup B$是有界集}
\textbf{证}\quad
对于两个有界集,$\exists M= _{\mathrm{max}}\{ \sup|A|,\sup|B| \}$,
所以$M$是$A \bigcup B$的界.

\subsection{$S=\{ x+y|x\in A, y \in B  \}$也是有界集}
\textbf{证}\quad
只需令上问的$M=\sup |A|+\sup |B|$即可.

\section{指出下列数集的下确界与上确界:}%2
\subsection{$\{\sin x \mid x \in(0,10)\}$}
\textbf{解}\quad
$\sup A=1$,$\inf A=-1$

\subsection{$\left\{\frac{1}{\sqrt{n}} \mid n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$}
\textbf{解}\quad
$\sup B=1$,$\inf B = 0$

\subsection{$\left\{x \mid x^{2}+4 x+3>0\right\}$}
\textbf{解}\quad
$\sup C=+\infty$,$\inf C=-\infty$

\section{证明:若集合 $S$ 有上界,则数集 $T=\{x \mid-x \in S\}$ 有下界,且  $\sup S=-$  $\inf T$.}
\textbf{证}\quad
设集合$S$上确界为$M$,则由于$\forall x \in S,x \leqslant M$,故$\forall x \in T, x \geqslant -M$.
从而$-M$是$T$的下界.而任意$M'>-M$,都$\exists x \in T, x < M'$(如上),从而$-M = \inf T$

\section{证明:对任何非空数集 $S$,必有$\sup S \geqslant\inf S$. 试问当  $\sup S=\inf S$
  时,集合 $S$ 有什么样的特点}
\textbf{反证}\quad
若$\sup S < \inf S$,则$\forall x \in S$,$\sup S \geqslant x \geqslant \inf S$,与假设矛盾.

对于上下确界相等的集合,其中只有一个实数.如果有两个,则由于$S$是集合,从而二者不等,从而上下确界不等,与假设矛盾.

\section{设集合 $A, B$ 中的元素都是非负实数, 记 $A B=\{x y \mid x \in A, y \in B\}$,
  证明 $: \sup A B=\sup A \cdot \sup B$}
\textbf{证法一}\quad
只需证明$\ln \sup AB=\ln \sup A + \ln\sup B$.$\because \ln \sup AB=\sup \ln AB$(由单调性和非负性保证),从而
只要证明$\sup \ln(A+B) = \sup \ln A + \sup \ln B$,而此式显然.

\textbf{证法二}\quad
\begin{equation}
    \forall 0<\varepsilon<\sup A,\exists x \in A ,\mathrm{s.t.}x>\sup A-\varepsilon>0.
\end{equation}    
\begin{equation}
    \forall 0<\varepsilon<\sup B,\exists y \in B ,\mathrm{s.t.}x>\sup B-\varepsilon>0.
\end{equation}
\par $\forall x \in A, y\in B, xy<\sup A\cdot \sup B.\therefore \sup A \cdot \sup B $是$xy$集合的上界.

由(1),(2)得:$\forall xy>\sup A \cdot \sup B - \varepsilon \sup B - \varepsilon \sup A + \varepsilon^{2}=\sup A \cdot \sup B-\varepsilon(\sup A+\sup B - \varepsilon)=\sup A \cdot \sup B- \varepsilon'$.

从而$\forall \varepsilon'>0,\sup A\cdot \sup B$不是$AB$上界.从而$\sup A \cdot \sup B$是$AB$上确界.




\end{document}